Introdução

O objetivo desta aula é relembrar algumas ferramentas matemáticas para representar e manipular espacialmente pontos e vetores.

Esta habilidade é essencial em qualquer tipo de modelagem de robôs operando no espaço.

Sistemas de coordenadas

O sistema de coordenadas (ou do inglês, frame) é um constructo matemático que serve de base para descrever elementos no espaço cartesiano (e.g., pontos, vetores, transformações, outros sistemas de coordenadas, etc.).

Um sistema de coordenadas é composto por:

• Uma origem : ponto no espaço onde se origina seus eixos unitários.
• Três vetores unitários mutuamente ortogonais , , .

Cada vetor unitário está relacionado a uma das dimensões representadas por aquele sistemas de coordenadas, sendo comumente instanciados como:

Assim, um sistema de coordenadas genérico pode ser definido da seguinte maneira:

Nota

Os sentidos positivos (ou seja, para apontam) dos vetores-base dos sistemas de coordenadas são definidos de acordo com a convenção da "regra da mão direita", largamente utilizada pela comunidade científica. Por extensão, os sentidos positivos de translação e rotação também são definidos de acordo com esta convenção.

(Correll et al., 2022)

A regra da mão direita faz garantir que a relação entre os eixos unitário a da base

Além disso, sendo ortogonais entre si, a relação entre os eixos unitários pode ser descrita da seguinte maneira:

Posição

Tendo como base um sistema de coordenadas qualquer, a posição no espaço de um ponto qualquer pode ser descrita em relação a da seguinte maneira:

onde os elementos , e são denominadas as coordenadas do ponto em relação à origem de .

Orientação

Seguindo nossa ilustração, não faria sentido tentarmos definir a orientação do ponto em relação a pois, por definição, um ponto possu dimensão zero e não possui graus de liberdade rotacionais. Em outras palavras, um ponto é invariante rotacionalmente, não alterando suas propriedades geométricas ou representação espacial caso seja rotacionado.

Definição dos sistemas de coordenadas

Sendo assim, para representar a orientação relativa entre dois elementos no espaço, precisamos definir um sistema de coordenadas também a este segundo elemento.

Na prática, considera-se então as coordenadas do ponto como sendo a origem deste novo frame, e defimos três vetores unitários ortogonais partindo dele. Assim, agora temos dois sistemas de coordenadas:

Orientação por projeção

Com estes dois sistemas definidos, uma maneira de representar a orientação de em relação a é descrevendo os eixos unitários de um em relação ao outro.

Uma maneira de fazer tal descrição é projetando os vetores-base de um sistema de coordenadas em outro. Por exemplo, para projetar nos eixos unitários de pode-se fazer:

Fazendo-se o mesmo processo de projeção para os demais vetores-base e de , depois concatenando-os horizontalmente, obtemos:

que é denominada a matriz de rotação que representa a orientação do frame em relação a .

Como pode-se observar na Eq. , cada coluna de é um vetor unitário, representando a projeção de um dos vetores-base de em . Nesta condição, a matriz é denominada ortonormal, implicando que é possível obter a orientação/rotação inversa simplesmente ao se transpor a matriz de rotação original. Em termos práticos, podemos obter uma orientação/rotação inversa ao fazermos:

Mapeando de um frame para outro

Um problema recorrente em robótica é:

Havendo havendo um objeto no espaço descrito em um sistema de coordenadas A, como mapear suas coordenadas para descrevê-lo em um outro sistemas de coordenadas B?

Considere que um robô ao qual atrelamos o frame detecte um obstáculo no espaço. Seus sensores indicam o vetor como sendo a descrição da posição deste obstáculo em relação ao robô.

O robô gostaria de indicar a posição deste obstáculo a um drone, ao qual atrelamos o frame . A posição e orientação do robô em relação ao drone são conhecidas, i.e., as variáveis e são definidas. Neste caso, a posição deste obstáculo em relação ao drone pode ser calculada através da equação:

Para o nosso exemplo, a Eq. permite então calcular a posição relativa do obstáculo em relação ao drone, mesmo que se saiba somente a posição do obstáculo em relação ao drone e a posição+orientação do robô em relação ao drone.

Pose no espaço

Até então, vimos como representar a posição e orientação relativa entre elementos no espaço cartesiano utilizando objetos matemáticos separados. Há porém uma maneira de combinar ambas as representações em uma única estrutura matemática.

Transformação homogênea

Considerando nosso exemplo, a matriz de transformação homogênea do frame em relação a é definida como:

Note que a matriz é construída simplesmente ao se concatenar horizontalmente a matriz de rotação com a posição e concatenar verticalmente na última linha um vetor .

Assim, agora podemos calcular de forma conveniente a posição do obstáculo visto inicialmente pelo robô em relação ao sistema inercial da seguinte maneira:

Para esta álgebra funcionar, note que foi concatenado verticalmente aos vetores de posição originais.

Transformação homogênea inversa

Note que a inversa de uma transformada homogênea pode ser construída invertendo a rotação e a translação de forma independente:

Combinação de transformações

É possível combinar transformações simplesmente ao multiplicá-las pela direita.

Por exemplo, considere agora que há mais dois robôs cujos frames são e . Considere também que o obstáculo é visto somente pelo robô e que sabe-se somente as sequências de transformações . Ainda assim poderia-se descrever a posição do obstáculo em relaçao ao frame inercial da seguinte maneira:

Desafio: Exercício prático

Um drone de vigilância em aeroportos faz rondas em torno da pista de decolagem em busca de pássaros que possam estar voando nas redondezas. Quando um pássaro é detectado pelo drone, o sistema do aeroporto deve descobrir se o pássaro está no espaço aéreo da pista. Caso positivo, um sistema de alarmes deve soar automaticamente para a torre de comando.

Ao localizar um pássaro com seus sensores, o drone é capaz de estimar o vetor de posição deste pássaro em relação a ele. A pose do drone em relação à torre de comando é sempre conhecida, assim como a posição fixa dos vértices da região do espaço aéreo da pista também em relação à torre de comando.

Tarefa

Implemente um algoritmo em Python que:

• receba como parâmetro as coordenadas dos vértices da região do espaço aéreo da pista;
• receba a posição do pássaro detectada em relação ao drone como um vetor
• calcule a posição do pássaro em relação à torre de comando;
• estime se o pássaro se encontra no espaço aéreo da pista;
  • retorne um booleano True caso positivo ou False caso negativo.