Introdução

Para movimentar um robô pelo espaço, é necessário conhecer a relação entre

• o comando aplicado em seus atuadores;
• e as acelerações/velocidades realizadas pelo chassi do robô.

Por exemplo, veja a relação de velocidade das hélices de um drone e a movimentação que ele realiza no ar.

No segundo exemplo, veja a relação entre as velocidades das rodas de um robô diferencial e a movimentação que ele realiza no terreno.

Nota-se que é crucial modelar a relação de causa e efeito entre as forças/velocidades aplicadas pelos atuadores e o que isto implica na movimentação do robô.

O enfoque da aula será na modelagem de robôs móveis terrestres do tipo diferencial, pois é a arquitetura da plataforma que iremos construir nesta disciplina.

Objetivos da aula

• Introduzir a cinemática de robôs móveis terrestres com arquitetura diferencial.

O robô diferencial

A arquitetura de veículos móveis do tipo "diferencial" é caracterizada essencialmente por duas rodas alinhadas paralelamente acopladas a um chassi central de maneira que o eixo entre as duas rodas passe pelo centro de rotação do chassi.

O termo "diferencial" refere-se ao fenômeno observado neste tipo de plataforma onde as velocidades lineares e angulares do chassi são uma função da diferença entre as velocidades de suas rodas.

Como o eixo entre as rodas passa pelo centro de rotação do chassi, o robô é capaz de rotacionar em torno do próprio eixo sem que as rodas escorreguem sobre o solo.

Velocidades do robô em seu próprio frame

A primeira pergunta então pode ser: como modelar as velocidades do chassi do robô em função das velocidades angulares das rodas?

Definições básicas

Primeiramente, podemos definir os seguintes elementos, parâmetros e variáveis a fim de viabilizar a modelagem (veja Fig. 1 para referência):

• é o sistema de coordenadas do robô, com origem fixada no centro de rotação do chassi e eixo apontando para a frente do robô e apontando para cima.
• e são as velocidades angulares dos deixos das rodas esquerda e direita, respectivamente.
• é o raio de ambas as rodas.

Vetor de estados do robô

Com as definições feitas acima, podemos definir um vetor que contém todas as possíveis velocidades desenvolvidas por este robô expressas em seu próprio sistemas de coordenadas:

onde , e representam as velocidades lineares ao longo dos eixos , , e , e , e representam as velocidades angulares em torno destes mesmos três eixos.

Considerando que o robô irá operar somente sobre o plano, o vetor definido na Eq. pode ser simplificado para:

Modelo cinemático do robô diferencial

Com as definições feitas até aqui, deseja-se encontrar o modelo que relacione as velocidades angulares das rodas com as velocidades lineares a angulares desenvolvidas pelo chassi. Em termos matemáticos, deseja-se encontrar a relação

Como encontrar esta relação?

Resposta: Tal relação pode ser descrita da seguinte forma:

Devido à arquitetura construtiva do robô, note que é impossível que as rodas gerem velocidades lineares ao longo de do robô, o que caracteriza uma restrição não-holonômica.

Velocidades do robô em relaçao a um frame inercial

Em problemas de robótica, normalmente é necessário calcular a movimentação de um robô em relação a um outro sistema de coordenadas (e.g., um referencial fixo).

Expressão do robô em relação a outro frame

Assim, podemos expressar as coordenadas de em relação a um segundo sistema de coordenadas denotado aqui por , como ilustrado na Fig. 2.

Velocidades do robô no frame inercial

Agora, temos que expressar as velocidades do robô no sistema de coordenadas inercial . Queremos então encontrar uma relação do tipo:

Como encontrar esta relação?

Resposta: Uma transformada que converte velocidades expressas em para o sistema é:

Unindo as Eq. e , chegamos a uma fórmula que relaciona as velocidades das juntas do robô ( e ) com as velocidades lineares e angulares que ele descreve no plano em relação ao sistema inercial :

Odometria do robô

Odometria refere-se a calcular o deslocamento do robô em função da movimentação de suas rodas.

O objetivo então é calcular a pose do robô em função do tempo expressa em à medida que velocidades lineares e angulares vão sendo aplicadas às suas juntas. Isto pode ser alcançado ao se integrar a Eq. , levando a:

Utilizando-se de um computador, é recorrente calcular tais deslocamentos lineares e angulares de forma discreta, fazendo-se:

onde . Assim, é possível aproximar a Eq. através da relação:

Perceba que nesta integração numérica, valores maiores de causam mais inacurácia nos cálculos.